Энергия гравитационного поля (или гравитационная энергия)

Для вычисления энергии гравитационного поля выполним следующий мысленный опыт. Разделим все вещество некоторого космического тела на ряд сферических оболочек и будем каждую оболочку удалять в бесконечность. При удалении одной оболочки совершается работа

A =γ Mm/r (1.4.1)​

где γ - гравитационная постоянная, m=4πr²ρΔr – масса оболочки, M=4πr³ρi/3 – масса остатка, r — текущий радиус, ρi – средняя плотность остатка. Изменение плотности по глубине можно представить как

ρ/ρ0 = 1 - (r/R)n (1.4.2)​

где ρ0 — плотность в центре, R – радиус объекта, n — показатель степени (не получается возвести в степень, поэтому приходится прибегать к таким ухищрениям, как подчеркивание и т.д.). Когда n→∞, ρ/ρ0→1, то есть плотность одинакова во всех точках небесного тела (случай мелких космических тел и астероидов). При n=1 плотность линейно меняется по глубине от нуля на поверхности до ρ0 в центре (случай крупных космических тел, звезд и планет). При n=0 почти все вещество собрано в центре, а на поверхности его количество исключительно мало (случай гигантских газовых туманностей с массой в миллионы раз больше солнечной).

Чтобы определить среднюю плотность ρi, рассчитаем массу М путем интегрирования всех сферических оболочек

M = INT{4πr²ρ0[1 - (r/R)n] = 4/3πr³ρ0[1 - 3(r/R)n/(n+3)] (1.4.3)​

Вследствие того, что M = 4πr³ρi/3, мы получаем

ρi = ρ0[1 - 3(r/R)n/(n+3)] (1.4.4)​

Подстановка масс и плотностей в формулу (1.4.1) и ее интегрирование от r=0 до r=R дает

A = γαM²/R (1.4.5)​

где α = 0.6(n+3)(2n+11)/(n+5)/(2n+5) – численный фактор, определяющий распределение вещества внутри космического объекта. Минимальное значение α=0.6 и минимальная работа имеют место для n→∞. При n=1 фактор α =0.743. Максимальное значение α=0.792 наблюдается для n→0, то есть для случая гигантских газовых туманностей.

Зададимся вопросом: во что преобразуется работа, вычисляемая по формуле (1.4.5)? Ответ будет следующим: эта работа тратится на уничтожение гравитационного поля космического объекта. Когда мы разделяем объект на ряд сферических оболочек и удаляем каждую из них в бесконечность, мы фактически уничтожаем объект, то есть уничтожаем его гравитационное поле. Так как поле обладает энергией Е, мы должны для его уничтожения затратить работу, равную сумме гравитационной и кинетической энергий всех оболочек на бесконечно большом удалении. Когда кинетическая энергия равна нулю, вычисляемая по формуле (1.4.5) работа даст энергию гравитационного поля

E = γαM²/R (1.4.6) ​

Для расчета плотности гравитационной энергии (содержание энергии в единице объема) выполним другой мысленный эксперимент. Будем уменьшать среднюю плотность вещества космического объекта от ρ1 до ρ2 при его постоянной массе. В этом случае радиус тела меняется от R1 до R2.. Разность гравитационных энергий

E1 - E2 = γαM²/R1 - γαM²/R2 = γαM²ΔR/R² (1.4.7)​

дает величину гравитационной энергии внутри тонкого слоя толщиной ΔR между двумя сферами с радиусами R1 и R2.. Разделив эту разность на объем слоя, мы будем иметь плотность гравитационной энергии

ε = γαM²/(4π R²R²) (1.4.8)​

Хотя настоящая формула получена для слоя пространства, прилегающего к поверхности объекта, она продолжает оставаться в силе для любой другой точки пространства. Единственное отличие будет заключаться в том, что вместо радиуса R надо будет использовать расстояние Н от центра объекта до интересующей точки. Учитывая, что ускорение свободного падения в данной точке рассчитывается как g = γM/H², мы получаем связь между ускорением свободного падения и плотностью энергии гравитационного поля

ε = αg²/ (4πγ ) (1.4.9)​

Полученная формула справедлива для самого общего случая произвольного количества космических объектов, в то время как предыдущая формула (1.4.8) справедлива только для одного космического тела, когда гравитационное поле является сферически симметричным и всякая его деформация отсутствует. Величина g в формуле (1.4.9) является векторной суммой всех ускорений свободного падения, создаваемых отдельными полями.

Все формулы получены для случая нулевой плотности вещества на поверхности объекта. В общем случае ρS ≠0 формулы сохраняют свою форму, меняется только фактор α.

Для Земли ρS = 2200 кг/м³, ρ0 = 17000 кг/м³, М = 5.97×10(24) кг, R = 6.38×10(6) м, а плотность вещества с глубиной меняется по закону, близкому к линейному, поэтому n=1. Тогда α = 0.671, E = 2.5×10(32) дж, ε = 0.786×10(11)дж/м³. Для сравнения энергетический эквивалент всех известных месторождений углеводородного топлива оценивается величиной порядка 10(22) дж. Ясно, что преобразование гравитационной энергии в электричество и тепло может успешно решить все наши топливные и энергетические проблемы.

Вернемся ненадолго к потенциальной энергии. Рассмотрим преобразование потенциальной энергии γMm/H в кинетическую mv²/2 в ходе взаимного сближения двух космических тел (до окончательного решения проблемы кинетической энергии будем использовать это традиционное, хотя и неверное, понятие). По мере сближения скорость v и кинетическая энергия mv²/2 растут. Также растет комплекс γMm/H, т. к. уменьшается расстояние между телами. То есть растут одновременно и потенциальная, и кинетическая энергии. Чтобы избегнуть противоречия, обычно приписывают данному комплексу знак минус: на бесконечно большом удалении Н=∞ потенциальная энергия равна нулю, а по мере уменьшения расстояния она становится отрицательной и увеличивается в отрицательную область. Но если исходить из классического определения энергии как возможности совершения работы, тогда мы получаем отрицательную возможность. Возможность вообще может быть отрицательной? Подобная ситуация закономерна: если идея потенциальной идеи ошибочна, использование ее в наших построениях вынуждает нас постоянно совершать новые ошибки для компенсации последствий ошибок старых.

Чтобы понять, в чем заключается ошибка традиционных представлений применительно к данному процессу, нужно рассмотреть структуру гравитационного поля с помощью силовых линий (примерно как это делается для электрического поля) в ходе сближения двух космических тел, то есть в случае искажения первоначальной сферической симметрии. Когда я это сделал для масс М и m=0.5М, картина оказалась полностью идентичной случаю электрического поля двух зарядов Q и q=0.5Q. Общее гравитационное поле системы М+m складывается из двух частных полей, образованных индивидуальными массами М и m. И между ними располагается особая точка, в которой напряженность общего гравитационного поля равна нулю из-за нейтрализации одного поля другим. В окрестностях этой точки («мертвая» зона) общее поле настолько ослаблено, что не дает никакого вклада в общую гравитационную энергию. Ясно, что формулы должны отражать отсутствие такого вклада.

Если имеется всего один объект, энергия его гравполя рассчитывается по формуле (1.4.6). Когда два объекта разнесены так далеко, что их гравитационные поля "не чувствуют" и не деформируют друг друга, энергия общего гравитационного поля определяется простой суммой энергий двух частных полей. Но когда эти объекты сближаются, так что их поля начинают "чувствовать" и деформировать друг друга, обшая гравитационная энергия рассчитывается как

E = γαM²/R + γαm²/r - γMm/H (1.4.10)​

где последнее слагаемое γMm/H, которое неправильно называют потенциальной энергией, описывает отсутствие энергии в «мертвой» зоне. Чем меньше расстояние Н между объектами, тем больше смещение «мертвой» зоны в область сильных полей, тем сильнее она ослабляет поля и уменьшает общую гравитационную энергию. Это уменьшение гравитационной энергии преобразуется в кинетическую энергию сближающихся тел. Таким образом, академическая позиция правильно объясняет увеличение кинетической энергии двух сближающихся тел за счет уменьшения отрицательного комплекса -γMm/H с чисто математической точки зрения, но дает неверную физическую трактовку этого процесса. Данный комплекс является не потенциальной энергией одного из тел, а уменьшением энергии общего гравполя вследствие его деформации. И тут мы снова сталкиваемся со связью энергия-деформация.

Теперь можно объяснить более правильно, что происходит в ходе подъема любого материального тела в гравитационном поле. Когда предмет лежит на поверхности Земли, он своим гравитационным полем деформирует гравитационное поле планеты таким образом, что общая гравитационная энергия двух деформированных полей оказывается на величину γMm/H меньше случая недеформированного поля. Поднимая предмет вверх, мы переносим его в область меньшей напряженности земного поля. Следовательно, деформация обоих полей уменьшается, а суммарная гравитационная энергия полей должна возрасти на величину γMmΔН/H² или mgh. Приращение энергии полей обеспечивается выполнением нами работы по подъему предмета. В случае падения все происходит наоборот. Предмет перемещается в область большей напряженности земного гравполя, деформация обоих полей растет, а суммарная гравитационная энергия снижается. Уходящая из поля энергия переходит в энергию физического вакуума, т. к. предмет под действием гравитации движется ускоренно, поэтому он своим собственным гравитационным полем совершает работу над вакуумом, деформирует его структуру и тем самым увеличивает его энергию. А когда падающий предмет ударится о препятствие, энергия физвакуума перейдет в тепло.