Фрактальная математика

http://qiao.github.io/fractal-terrain-generator/demo/

http://sirxemic.github.io/ifs-animator/

http://xenodream.com/

https://www.ultrafractal.com/

http://fractalarts.com/ASF/index.html

https://fr0st.wordpress.com/

http://fract.al/

https://sciencevsmagic.net/fractal/#0060,0085,1,1,0,1,2

https://www.arthy.org/fractal/fractal_.php

http://www.chaospro.de/

https://sourceforge.net/projects/apophysis/

http://jwildfire.org/

FractalNow
https://sourceforge.net/projects/fractalnow/files/latest/download

Mandelbulb 3D (MB3D) Fractal Rendering Software
https://mb3d.overwhale.com/downloads/Mandelbulb3Dv199sr33.zip

 

ФРАКТАЛЫ В ЦИФРАХ
Ссылка: https://habr.com/ru/post/194406/



Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма.

Английская версия: New kind of fractals — Fractals in relatively prime integers (coprime integers)

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправим луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p — взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже — фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.



Gif-анимация:





Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника — получаем разные узоры.






Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, «фрактал» — это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P — ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Одна сторона: F(n);
Вторая сторона: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.



















Дальше фракталы циклически повторяются.

Если большая сторона четная, получается такой узор:



Если меньшая сторона четная:



Если обе стороны нечетные — получаем симметрический узор:





В зависимости от того, как начинается луч:

или


Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.



Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.



При этом, количество квадратиков, которые проходит луч — всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат — останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно — можно добраться до «начала» фрактала.



Похоже на спираль Фибоначчи?



Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1



Поехали:




Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению — тем больше детализация фрактала.



При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:



Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить и в квадрате, если пускать луч под другим углом:



Что можно сказать в заключении?
Хаос — это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки — обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень — пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны — все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать «модель» поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов — волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если «словить» такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частицы – это такие-же фракталы?



Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80 (6723х6723 px):


Замкнутые области во фракталах (6723х6723 px):




Просто красивый фрактал (4078x2518 px):


Если у вас хватило терпения дочитать до конца, еще раз JavaScript реализация алгоритма

 

Фрактальное самоподобие

 

Мозаика Пенроуза, бесконечная и неповторимая.
2 окт. 2020 г.

 

Размовленная МУТЬиматика!
Кушелевщина!

Муть в головах - "порядок" в глазах и руках. Так как нужно фрактальщикам глобального обезьянного детсада.
Мозаики всякие произведут, НЕВЕДОМО и БЕЗЗАТРАТНО!

 

Опять болгарин пестицидов нанюхался и несёт всякий БРЕД.

 

Девушки, идите пофракталить:

!


Имейте ввиду, что ниточки и бусинки оочень дорогие!
Они же специальные - магические, заколдованные и закушелеванные!

 

Что будет, если взять корень из отрицательного числа?
Фракталы
27 дек. 2019 г.

 

Уравнение, которое меняет взгляд на мир.
1 февр. 2020 г.